Facile, anzi… difficilissimo by Balzarotti Lava

autore:Balzarotti, Lava [Balzarotti, Lava]
La lingua: ita
Format: epub
editore: Hoepli
pubblicato: 0101-01-01T00:00:00+00:00

Si noti anche che nella lagrangiana figurano solo le coordinate generalizzate e le loro derivate prime e non le derivate di ordine superiore.

È possibile dimostrare che la lagrangiana non è unica e che è determinata a meno di una derivata rispetto al tempo, di una funzione qualunque delle coordinate generalizzate e di una costante moltiplicativa, che può essere intesa semplicemente come l’arbitrarietà della scala e delle unità di misura. La funzione e la costante non modificano in nessun modo però la descrizione matematica del moto del sistema.

Nei sistemi meccanici, la lagrangiana è la differenza tra energia cinetica e potenziale in ogni punto della traiettoria, e quindi la soluzione fisica è quella che minimizza istante per istante la differenza tra le due energie. Si capisce perché il calcolo delle variazioni fosse così caro a Hilbert! La lagrangiana è quindi una funzione compatta per rappresentare un sistema ed è indipendente dal sistema di coordinate usate e dalla scala utilizzata. Oggi molte delle teorie della fisica sono descritte da lagrangiane.

Importante è che la lagrangiana di un sistema fisico reale è invariante rispetto a certe trasformazioni di coordinate che sono eseguite identicamente in ogni punto dello spazio-tempo. Per questo si dice che presenta delle simmetrie globali.

Ricordiamo anche un altro concetto della meccanica classica equivalente alla lagrangiana: il moto di un sistema può essere descritto in termini di hamiltoniana, cioè con la somma, istante per istante, dell’energia potenziale e dell’energia cinetica. Con l’hamiltoniana si ha una visione complementare della relazione tra principi di invarianza e leggi di conservazione. Anche in questo caso l’hamiltoniana, per essere collegata a una realtà fisica, non deve cambiare rispetto a certe trasformazioni.

Le teorie che trattano i sistemi e le leggi fisiche che sono invarianti rispetto a trasformazioni di simmetria, rispetto a variazioni di scala e a funzioni additive, sono dette teorie di gauge. Gauge non è il nome di un fisico ma semplicemente la parola inglese per calibro, misuratore, scala…

Per esempio, le equazioni della meccanica sono invarianti rispetto all’inversione del tempo, cioè rispetto alla sostituzione del futuro con il passato. In altri termini, ambedue i sensi del tempo sono equivalenti: secondo le equazioni della meccanica se qualche moto è possibile, lo è anche il moto inverso [LL2]. Questa è un’invarianza di gauge.

Nell’elettromagnetismo, le equazioni dei potenziali vettoriali e scalari sono indipendenti da alcune funzioni costanti: il potenziale vettore è determinato a meno del gradiente di una funzione arbitraria (vedi l’appendice) e il potenziale scalare a meno della derivata rispetto al tempo della stessa funzione. Precisamente: solo le grandezze invarianti nella trasformazione dei potenziali hanno significato fisico. Anche questa è un’invarianza di gauge. In elettrostatica, l’energia di interazione dipende dalla differenza di potenziale elettrostatico e non dal valore assoluto. L’energia di interazione resta perciò invariante per qualsiasi cambiamento di scala del potenziale. Questa è una invarianza di gauge. Il potenziale elettrostatico è determinato a meno di una costante. Questo è un gauge globale [BGS].

Abbiamo citato l’elettromagnetismo perché proprio nelle equazioni di Maxwell sull’elettromagnetismo si è notata e sviluppata la teoria dell’invarianza.

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